FakeOrange机器学习与算法1.2 —— 概率论中的变量
让我深入的继续了解算法的基础吧
前言
牛了！朋友！你已经开始第二章节了！哦哦哦！在这里说个冷知识，一般而言人工智能包含内容为：传统机器学习，神经网络与深度学习
看起来是这样的！
让我们继续起飞！
预览：
1. 随机变量
随机变量（Random Variable）是一种数值变量，它将样本空间中的每个结果对应到一个数值上。在实际应用中，随机变量可以表示一个随机现象的数值结果，比如掷骰子的结果或股票价格的波动。
随机变量的符号表示
随机变量通常用大写字母表示，比如 X，而其取值（即某一特定试验结果对应的数值）用小写字母表示，如 X=x。随机变量的分布决定了每个可能的结果的概率。
2. 离散型随机变量
离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指其取值是有限个或可数无穷多个的随机变量。每个可能的值都有一个确定的概率，并且这些概率之和为1。常见的离散型随机变量例子包括骰子点数、抛硬币结果等。
离散型随机变量的例子
- 掷骰子：假设 X 表示掷一个骰子的结果，那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
- 抛硬币：假设 Y 表示抛两次硬币出现正面的次数，Y 的可能取值为 {0, 1, 2}。
概率质量函数（PMF）
离散型随机变量的分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来表示。PMF 为每个可能取值分配一个概率。对于离散型随机变量 X，其 PMF 表示为 P(X=x)，即 X 取值为 x 的概率。
例如，若随机变量 X 表示掷骰子的结果，则其 PMF 为：
3. 连续型随机变量
连续型随机变量（Continuous Random Variable）是指其取值为连续区间中的所有数，即可能取值是无限多个，无法一个个列出。常见的连续型随机变量包括测量数据，如人的身高、体重、温度等。
概率密度函数（PDF）
对于连续型随机变量 XXX，我们无法直接求出某一个具体值的概率（因为概率为0），因此用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述。PDF 表示随机变量在某个区间内取值的可能性大小。
例如，若 X 表示一根木棒的长度，且长度在 [0, 1] 米之间均匀分布，那么 X 的概率密度函数为：f(x)=1, （0≤x≤1）
我们可以通过积分计算在某一区间内的概率：
连续型随机变量的例子
- 正态分布（Normal Distribution）：很多自然现象可以用正态分布描述，例如成年人的身高。其概率密度函数为：
- 其中 μ 是均值，σ^2 是方差。均匀分布（Uniform Distribution）：如上一例中木棒的长度。
4. 中心极限定理
中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是概率论中的一个重要定理。它说明了在一定条件下，任意分布的样本平均值的分布都会趋近于正态分布。即使每次抽样的结果分布不同，但当样本数量足够大时，这些结果的均值分布会趋近正态分布。
中心极限定理的公式
假设我们有一个来自总体的样本 {X1,X2,…,Xn}，其均值为 μ，方差为 σ^2。若样本量 n 足够大，则样本均值的分布会接近正态分布，即
中心极限定理的重要性
- 中心极限定理使我们能够在不知道数据原始分布的情况下，估计均值的分布。
- 它广泛应用于统计推断，例如构建置信区间、假设检验等。
中心极限定理的例子
假设一个工厂生产的零件重量分布是未知的，但我们可以从中抽取100个零件测量重量，并计算平均重量。根据中心极限定理，当样本数量较大（比如大于30），我们可以假设这些平均重量的分布接近正态分布。（后续这部分内容会涉及统计学验证）这意味着我们可以使用正态分布来估计总体平均重量，即使我们不知道零件的真实分布。
小结
- 随机变量：用于描述随机现象的数值结果，可以是离散型或连续型。
- 离散型随机变量：取值为有限个或可数无穷多个，使用概率质量函数 (PMF) 来描述。
- 连续型随机变量：取值为连续区间，用概率密度函数 (PDF) 描述。
- 中心极限定理：样本量足够大时，样本均值的分布趋于正态分布，无论样本来自何种分布。